Comprendre les files d’attente
Objectif : distinguer attente et séjour, reconnaître des moyennes stationnaires et prévoir l’effet d’une arrivée accrue ou d’un service plus rapide.
Si les arrivées doublent, l’attente moyenne double-t-elle toujours ? Si la capacité de service double, l’attente est-elle toujours divisée par deux ?
Une file M/M/1 : pourquoi l’attente augmente-t-elle ?
Gardez un service moyen de 10 requêtes/s. Passez de 5 à 9 arrivées/s : l’attente moyenne avant service passe de 0,1 à 0,9 s, sans croissance simplement proportionnelle.
À vous d’expérimenter
Une file M/M/1 : pourquoi l’attente augmente-t-elle ?
Un serveur idéal traite en moyenne 10 requêtes par seconde. Faites varier le rythme moyen des arrivées et comparez l’attente en file avec le séjour total.
- Occupation moyenne du serveur ρ
- 0,500 sans unité
- Nombre moyen en attente Lq
- 0,5000 requêtes
- Nombre moyen dans le système L
- 1,0000 requêtes
- Attente moyenne avant service Wq
- 0,1000 s
- Séjour moyen, attente et service W
- 0,2000 s
Voir le mécanisme
Attente moyenne et occupation d’un serveur
Sur petit écran, faites défiler le schéma ; au clavier, utilisez les flèches, Début ou Fin.
- Rythme moyen des arrivées λ
- 5,000 requêtes/s
- Rythme moyen de service μ
- 10,000 requêtes/s
- Fraction moyenne de temps occupé
- 0,500 sans unité
- Nombre moyen en attente Lq
- 0,5000 requêtes
- Attente moyenne avant service Wq
- 0,1000 s
- Nombre moyen dans le système L
- 1,0000 requêtes
- Séjour moyen, service compris W
- 0,2000 s
- Fraction moyenne du temps occupé
- 50,0 %
50,0 %
Animation illustrative sur demande, à vitesse constante : aucune trajectoire individuelle ni échelle de temps physique. Les valeurs sont calculées avant l’animation et restent inchangées.
Valeurs initiales calculées ci-contre. Activez JavaScript pour les modifier.
Passez de 5 à 9 requêtes par seconde. Le serveur garde la même capacité moyenne : l’attente moyenne est-elle simplement multipliée par 9/5 ?
À mesure que les arrivées se rapprochent de la capacité moyenne, les moyennes de file et d’attente augmentent fortement. Chaque requête conserve une durée aléatoire.
Formule et limites du modèle
μ = 10 ; ρ = λ/μ ; Lq = λ²/[μ(μ−λ)] ; L = λ/(μ−λ) ; Wq = λ/[μ(μ−λ)] ; W = 1/(μ−λ)
- M/M/1 idéal : arrivées de Poisson à rythme constant, durées de service exponentielles indépendantes entre elles et des arrivées, un seul serveur, premier arrivé premier servi.
- Capacité d’attente illimitée, aucune perte ni aucun abandon. La capacité moyenne μ reste fixée à 10 requêtes/s ; le service dure en moyenne 0,1 s, jamais une durée imposée à chaque requête.
- Les résultats sont des moyennes en régime stationnaire, pas des nombres instantanés ni le délai garanti d’une requête. Un nombre moyen de requêtes peut être fractionnaire.
- Le domaine λ = 1 à 9 requêtes/s reste strictement sous μ. À λ ≥ μ, ces moyennes stationnaires finies ne s’appliquent plus ; le modèle refuse ces valeurs.
- Ce modèle n’est pas une simulation de paquets ni une prévision de performance d’Internet : rafales non poissoniennes, priorités, plusieurs serveurs, buffers limités et délais de propagation sont absents.
Modèle : mm1-queue · Révision 2026-10-23.2.
Sources et repères pour vérifier :
- Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare — 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016). Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1.
- Richard C. Larson et Amedeo R. Odoni, Massachusetts Institute of Technology — Urban Operations Research — 4.6.1 Case 1: One Operator, Infinite Number of Lines. Hypothèses 1 à 3 : absence d’abandon, ordre FCFS, intervalles d’arrivée et durées de service exponentiels ; un opérateur et lignes en nombre illimité. Voir aussi §4.5, arrivées de Poisson.
Vérifier les calculs et leur portéeSources, calculs et limites
Chaque affirmation ci-dessous renvoie à une source ou à une méthode reproductible.
Principe établi
La file M/M/1 idéale possède les moyennes stationnaires finies utilisées ici lorsque le rythme d’arrivée λ reste inférieur au rythme moyen de service μ.
Méthode : On fixe μ = 10 requêtes/s et on limite λ à 1–9 requêtes/s ; ρ = λ/μ reste donc entre 0,1 et 0,9. Les dénominateurs μ − λ sont strictement positifs. Le domaine pédagogique exclut la saturation λ ≥ μ, sans prétendre y prolonger les formules.
Portée : Régime stationnaire d’un seul serveur ; ni démarrage transitoire ni délai garanti pour une requête.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1. Consulté le 2026-10-23.
- Urban Operations Research — 4.6.1 Case 1: One Operator, Infinite Number of Lines — Richard C. Larson et Amedeo R. Odoni, Massachusetts Institute of Technology
Hypothèses 1 à 3 : absence d’abandon, ordre FCFS, intervalles d’arrivée et durées de service exponentiels ; un opérateur et lignes en nombre illimité. Voir aussi §4.5, arrivées de Poisson. Consulté le 2026-10-23.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Calcul reproductible
Le nombre moyen dans le système comprend la file et le serveur ; le nombre moyen en attente exclut la requête éventuellement en service.
Méthode : L = λ/(μ − λ) ; Lq = λ²/[μ(μ − λ)]. Leur différence vaut ρ, nombre moyen au serveur. À λ = 5 et μ = 10 requêtes/s : L = 1, Lq = 0,5 et ρ = 0,5. Les nombres de requêtes moyens sont sans dimension et peuvent être fractionnaires.
Portée : Ces espérances ne représentent pas une photographie de la file ni une capacité de buffer ; le buffer supposé est illimité.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1. Consulté le 2026-10-23.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Calcul reproductible
Le séjour moyen comprend l’attente avant service et le temps moyen de service ; ces deux durées ne doivent pas être confondues.
Méthode : W = 1/(μ − λ) ; Wq = λ/[μ(μ − λ)] ; W = Wq + 1/μ. Avec λ = 5 et μ = 10 requêtes/s : Wq = 0,1 s et W = 0,2 s, dont 0,1 s de service moyen. Les identités de Little Lq = λWq et L = λW vérifient unités et cohérence.
Portée : Les durées individuelles restent aléatoires ; la moyenne de service 0,1 s ne fixe pas une durée identique pour chaque requête.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1. Consulté le 2026-10-23.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Limites du modèle
M/M/1 suppose des arrivées de Poisson, des services exponentiels, un serveur FCFS et une attente illimitée sans abandon.
Méthode : Les intervalles d’arrivée sont exponentiels indépendants et les services sont exponentiels indépendants entre eux et des arrivées, à paramètres constants. FCFS signifie premier arrivé premier servi. Le schéma représente ces hypothèses et leurs moyennes, sans tirer de trajectoire aléatoire.
Portée : Aucune prévision de trafic Internet : délais de propagation, rafales non poissoniennes, priorités, plusieurs serveurs et buffers limités sont absents. Les flèches animées sont illustratives.
- Urban Operations Research — 4.6.1 Case 1: One Operator, Infinite Number of Lines — Richard C. Larson et Amedeo R. Odoni, Massachusetts Institute of Technology
Hypothèses 1 à 3 : absence d’abandon, ordre FCFS, intervalles d’arrivée et durées de service exponentiels ; un opérateur et lignes en nombre illimité. Voir aussi §4.5, arrivées de Poisson. Consulté le 2026-10-23.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1. Consulté le 2026-10-23.
- Urban Operations Research — 4.6.1 Case 1: One Operator, Infinite Number of Lines — Richard C. Larson et Amedeo R. Odoni, Massachusetts Institute of Technology
Même arrivée, serveur plus rapide : quelle attente moyenne ?
Gardez maintenant 5 arrivées/s. Passez de 10 à 20 services moyens/s : l’attente passe de 0,1 s à environ 0,0167 s, soit une division par six. Comparez avec la durée moyenne de service et le séjour total.
À vous d’expérimenter
Même arrivée, serveur plus rapide : quelle attente moyenne ?
Les arrivées restent à 5 requêtes par seconde. Faites varier la capacité moyenne d’un seul serveur M/M/1 et distinguez attente et séjour.
- Occupation moyenne du serveur ρ
- 0,5000 sans unité
- Nombre moyen en attente Lq
- 0,5000 requêtes
- Nombre moyen dans le système L
- 1,0000 requêtes
- Attente moyenne avant service Wq
- 0,1000 s
- Séjour moyen, service compris W
- 0,2000 s
- Durée moyenne de service
- 0,1000 s
Voir le mécanisme
Même arrivée, capacité de service variable
Sur petit écran, faites défiler le schéma ; au clavier, utilisez les flèches, Début ou Fin.
- Rythme moyen des arrivées λ
- 5,000 requêtes/s
- Rythme moyen de service μ
- 10,000 requêtes/s
- Fraction moyenne de temps occupé
- 0,500 sans unité
- Nombre moyen en attente Lq
- 0,5000 requêtes
- Attente moyenne avant service Wq
- 0,1000 s
- Nombre moyen dans le système L
- 1,0000 requêtes
- Séjour moyen, service compris W
- 0,2000 s
- Durée moyenne de service
- 0,1000 s
- Fraction moyenne du temps occupé
- 50,0 %
50,0 %
Animation illustrative sur demande, à vitesse constante : aucune trajectoire individuelle ni échelle de temps physique. Les valeurs sont calculées avant l’animation et restent inchangées.
Valeurs initiales calculées ci-contre. Activez JavaScript pour les modifier.
Gardez les mêmes arrivées et passez de 10 à 20 services moyens par seconde. L’attente moyenne avant service est-elle seulement divisée par deux ?
Augmenter la capacité réduit à la fois le temps moyen de service et l’occupation ; l’attente peut donc diminuer plus fortement qu’une simple proportion.
Formule et limites du modèle
λ = 5 ; ρ = 5/μ ; Lq = 25/[μ(μ−5)] ; L = 5/(μ−5) ; Wq = 5/[μ(μ−5)] ; W = 1/(μ−5)
- M/M/1 en régime stationnaire : arrivées de Poisson à λ = 5 requêtes/s, services exponentiels indépendants entre eux et des arrivées, un serveur FCFS.
- Buffer illimité, aucune perte ni aucun abandon. μ reste entre 6 et 20 requêtes/s, strictement supérieur à λ ; aucune saturation n’est extrapolée.
- Une capacité μ de 10 requêtes/s signifie un service de durée moyenne 0,1 s, pas une durée identique garantie pour chaque requête.
- Les résultats sont des moyennes, pas une chronologie de requêtes. Ce n’est ni une mesure de débit Internet ni une recommandation de dimensionnement réel.
Modèle : mm1-service-capacity · Révision 2026-10-23.1.
Sources et repères pour vérifier :
- Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare — 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016). Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1.
- Richard C. Larson et Amedeo R. Odoni, Massachusetts Institute of Technology — Urban Operations Research — 4.6.1 Case 1: One Operator, Infinite Number of Lines. Hypothèses 1 à 3 : absence d’abandon, ordre FCFS, intervalles d’arrivée et durées de service exponentiels ; un opérateur et lignes en nombre illimité. Voir aussi §4.5, arrivées de Poisson.
Vérifier les calculs et leur portéeSources, calculs et limites
Chaque affirmation ci-dessous renvoie à une source ou à une méthode reproductible.
Calcul reproductible
À arrivées moyennes fixées, augmenter la capacité moyenne de service réduit les moyennes stationnaires de file et d’attente dans le modèle M/M/1 stable.
Méthode : On fixe λ = 5 requêtes/s, avec μ entre 6 et 20. Les formules sont ρ = 5/μ, Lq = 25/[μ(μ−5)], L = 5/(μ−5), Wq = 5/[μ(μ−5)] et W = 1/(μ−5). Entre μ = 10 et 20, Wq passe de 0,1 s à 1/60 s : il est divisé par six, pas seulement par deux.
Portée : Les conditions M/M/1 restent supposées : Poisson, services exponentiels indépendants, un serveur FCFS, buffer illimité et régime stationnaire avec λ < μ.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1. Consulté le 2026-10-23.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Calcul reproductible
Le séjour moyen vaut l’attente moyenne avant service plus la durée moyenne de service, même lorsque μ varie.
Méthode : W = Wq + 1/μ. À μ = 20 requêtes/s : 1/60 s d’attente + 1/20 s de service moyen = 1/15 s de séjour moyen. À λ fixe, L = λW et Lq = λWq vérifient aussi ces résultats. Une réalisation individuelle n’est pas égale nécessairement à sa moyenne.
Portée : Ni délai garanti ni chronologie déterministe de requêtes ; augmenter μ suppose ici changer la distribution de service moyenne sans changer les arrivées.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1. Consulté le 2026-10-23.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Limites du modèle
M/M/1 suppose des arrivées de Poisson, des services exponentiels, un serveur FCFS et une attente illimitée sans abandon.
Méthode : Les intervalles d’arrivée sont exponentiels indépendants et les services sont exponentiels indépendants entre eux et des arrivées, à paramètres constants. FCFS signifie premier arrivé premier servi. Le schéma représente ces hypothèses et leurs moyennes, sans tirer de trajectoire aléatoire.
Portée : Aucune prévision de trafic Internet : délais de propagation, rafales non poissoniennes, priorités, plusieurs serveurs et buffers limités sont absents. Les flèches animées sont illustratives.
- Urban Operations Research — 4.6.1 Case 1: One Operator, Infinite Number of Lines — Richard C. Larson et Amedeo R. Odoni, Massachusetts Institute of Technology
Hypothèses 1 à 3 : absence d’abandon, ordre FCFS, intervalles d’arrivée et durées de service exponentiels ; un opérateur et lignes en nombre illimité. Voir aussi §4.5, arrivées de Poisson. Consulté le 2026-10-23.
- 2.854 / 2.853 Introduction to Manufacturing Systems — M/M/1 Queue (Fall 2016) — Massachusetts Institute of Technology, MIT OpenCourseWare
Page 1 : λ < μ, ρ, Ls, Ws, Wq et Lq ; page 2 : nombre moyen au serveur égal à ρ, non à 1. Consulté le 2026-10-23.
- Urban Operations Research — 4.6.1 Case 1: One Operator, Infinite Number of Lines — Richard C. Larson et Amedeo R. Odoni, Massachusetts Institute of Technology
Réutiliser ce que vous avez compris
À vous de transférer : une occupation de 50 % signifie-t-elle que chaque requête attend la moitié de son temps ? Non : c’est la fraction moyenne de temps où le serveur est occupé. Les requêtes gardent des temps aléatoires ; le séjour moyen comprend l’attente et le service.
Hypothèses et limites
Hypothèses M/M/1 : arrivées de Poisson, services exponentiels indépendants, un serveur premier arrivé premier servi, buffer illimité, aucun abandon et régime stationnaire stable. Aucun délai individuel garanti ni performance Internet n’est prédit.
Continuer à lire
Pour vérifier les moyennes, consultez la note M/M/1 du MIT. Revenez à toutes les expériences pour comparer d’autres mécanismes.
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